آموزش جامع جبر خطی برای هوش مصنوعی

🎯 اهداف یادگیری

درک مفاهیم پایه جبر خطی و کاربردهای آن در هوش مصنوعی
آشنایی با بردارها، ماتریس‌ها و عملیات روی آنها
یادگیری مفاهیم ضرب ماتریس‌ها و معکوس ماتریس
تسلط بر پیاده‌سازی عملیات جبر خطی با NumPy

📌 جبر خطی چیست و چرا برای هوش مصنوعی مهم است؟

جبر خطی شاخه‌ای از ریاضیات است که با بردارها، ماتریس‌ها و تبدیل‌های خطی سروکار دارد:

python

            # نمونه‌ای از پیاده‌سازی جبر خطی در پایتون
import numpy as np
A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])
result = np.dot(A,B)  # ضرب ماتریس‌ها

            

کاربردهای جبر خطی در هوش مصنوعی:

پردازش داده‌ها: نمایش داده‌ها به صورت ماتریس و بردار
شبکه‌های عصبی: محاسبه وزن‌ها و انتقال بین لایه‌ها
یادگیری ماشین: پیاده‌سازی الگوریتم‌های مختلف مانند رگرسیون خطی

📌 مفاهیم پایه: بردارها و ماتریس‌ها

بردارها آرایه‌های یک‌بعدی و ماتریس‌ها آرایه‌های دو‌بعدی از اعداد هستند:

python

            # ایجاد بردار و ماتریس در NumPy
vector = np.array([1,2,3])
matrix = np.array([[1,2],[3,4]])

انواع ماتریس‌های مهم:

ماتریس مربعی: تعداد سطر و ستون برابر
ماتریس همانی: قطر اصلی 1 و بقیه عناصر 0
ماتریس متقارن: A = A^T
ماتریس قطری: فقط عناصر روی قطر اصلی غیرصفر

📌 عملیات پایه روی ماتریس‌ها

۱. جمع و تفریق ماتریس‌ها

python

            A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])
sum_matrix = A + B  # جمع ماتریس‌ها
diff_matrix = A - B  # تفریق ماتریس‌ها

            

۲. ضرب ماتریس‌ها

python

            product = np.dot(A,B)  # ضرب ماتریس‌ها
elementwise = A * B  # ضرب عنصر به عنصر

۳. ترانهاده و معکوس ماتریس

python

            transpose = A.T  # ترانهاده ماتریس
inverse = np.linalg.inv(A)  # معکوس ماتریس

📌 مفاهیم پیشرفته در جبر خطی

۱. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

python

            eigenvalues,eigenvectors = np.linalg.eig(A)

۲. تجزیه ماتریس‌ها

تجزیه QR: برای حل سیستم‌های معادلات خطی
تجزیه مقادیر منفرد (SVD): در کاهش ابعاد و PCA
تجزیه Cholesky: در بهینه‌سازی و فیلتر کالمن

۳. نرم‌ها (Norms)

python

            norm_l2 = np.linalg.norm(vector)  # نرم L2

📌 کاربرد جبر خطی در یادگیری ماشین

۱. رگرسیون خطی

python

            # حل رگرسیون خطی با معادله نرمال
theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)

۲. کاهش ابعاد با PCA

python

            from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2)
X_reduced = pca.fit_transform(X)

۳. شبکه‌های عصبی

محاسبه خروجی هر لایه با ضرب ماتریس وزن‌ها در ورودی و اعمال تابع فعال‌ساز

📌 تمرین عملی

با استفاده از NumPy، عملیات زیر را انجام دهید:

python

            # ماتریس‌های A و B را تعریف کنید
A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])

راهنمای تمرین:

جمع و تفریق ماتریس‌ها را انجام دهید
ضرب ماتریس‌ها را محاسبه کنید
ترانهاده ماتریس A را پیدا کنید
معکوس ماتریس B را محاسبه کنید (در صورت وجود)

📌 منابع پیشرفته برای مطالعه بیشتر

کتاب Linear Algebra and Its Applications: مرجع جامع جبر خطی
دوره Linear Algebra در Coursera: آموزش عملی جبر خطی
مستندات NumPy: برای پیاده‌سازی عملی در پایتون

📌 قدم بعدی

در درس بعدی با آشنا خواهیم شد!

❮ خانه بعدی ❯