آموزش جامع حسابان برای هوش مصنوعی

🎯 اهداف یادگیری

• درک مفاهیم پایه حسابان و کاربردهای آن در هوش مصنوعی
• آشنایی با مشتق و انتگرال و اهمیت آنها در یادگیری ماشین
• یادگیری محاسبات گرادیان و بهینه‌سازی توابع
• تسلط بر پیاده‌سازی عملیات حسابان با کتابخانه‌های پایتون

📌 حسابان چیست و چرا برای هوش مصنوعی مهم است؟

حسابان شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه تغییرات و تجمع مقادیر می‌پردازد:

# نمونه‌ای از محاسبه مشتق با SymPy
from sympy import symbols,diff
x = symbols('x')
f = x**2 + 3*x + 2
derivative = diff(f,x)  # مشتق تابع

کاربردهای حسابان در هوش مصنوعی:

• بهینه‌سازی مدل‌ها: یافتن کمینه تابع هزینه با استفاده از گرادیان کاهشی
• شبکه‌های عصبی: محاسبه گرادیان‌ها برای الگوریتم backpropagation
• احتمالات: محاسبه توزیع‌های پیوسته با استفاده از انتگرال

📌 مفاهیم پایه: مشتق و کاربردهای آن

مشتق نرخ تغییرات یک تابع را نسبت به متغیرهایش نشان می‌دهد:

# محاسبه مشتق جزئی با NumPy
import numpy as np
def f(x):
    return 3*x**2 + 2*x + 1
def derivative(f,x,h=1e-5):
    return (f(x+h) - f(x))/h

انواع مشتق در یادگیری ماشین:

• مشتق معمولی: برای توابع یک متغیره
• مشتق جزئی: برای توابع چندمتغیره
• گرادیان: بردار مشتقات جزئی
• مشتق جهت‌دار: نرخ تغییر در جهت خاص

📌 گرادیان و بهینه‌سازی

۱. گرادیان کاهشی (Gradient Descent)

def gradient_descent(f,initial_x,learning_rate=0.01,iterations=100):
    x = initial_x
    for i in range(iterations):
        grad = derivative(f,x)
        x = x - learning_rate * grad
    return x

۲. انواع گرادیان کاهشی

• Batch GD: از کل داده‌ها برای محاسبه گرادیان استفاده می‌کند
• Stochastic GD: از یک نمونه تصادفی برای هر به‌روزرسانی استفاده می‌کند
• Mini-batch GD: ترکیبی از هر دو روش بالا

۳. بهینه‌سازهای پیشرفته

from tensorflow.keras.optimizers import Adam
optimizer = Adam(learning_rate=0.001)

📌 انتگرال و کاربردهای آن در هوش مصنوعی

انتگرال برای محاسبه مساحت زیر منحنی و تجمع مقادیر استفاده می‌شود:

# محاسبه انتگرال با SymPy
from sympy import integrate,Symbol
x = Symbol('x')
integral = integrate(x**2,x)  # انتگرال نامعین

کاربردهای انتگرال:

• احتمالات: محاسبه مساحت زیر منحنی توزیع‌های احتمال
• فیزیک: در شبیه‌سازی سیستم‌های فیزیکی
• پردازش سیگنال: برای تحلیل فرکانسی

📌 مشتق در شبکه‌های عصبی

الگوریتم Backpropagation

import tensorflow as tf
model = tf.keras.Sequential([
    tf.keras.layers.Dense(10,activation='relu'),
    tf.keras.layers.Dense(1,activation='sigmoid')
])
model.compile(optimizer='adam',
              loss='binary_crossentropy',
              metrics=['accuracy'])

زنجیره مشتقات در شبکه‌های عمیق

قاعده زنجیره‌ای (Chain Rule) امکان محاسبه گرادیان در لایه‌های مختلف را فراهم می‌کند

📌 تمرین عملی

با استفاده از NumPy، توابع زیر را پیاده‌سازی کنید:

# 1. تابعی برای محاسبه مشتق عددی
def numerical_derivative(f,x,h=1e-5):
    pass
# 2. تابعی برای پیاده‌سازی گرادیان کاهشی
def gradient_descent(f,initial_x,learning_rate=0.01,iterations=100):
    pass

راهنمای تمرین:

1. مشتق عددی را با استفاده از روش تفاضل محدود پیاده‌سازی کنید
2. الگوریتم گرادیان کاهشی را برای یافتن مینیمم یک تابع ساده پیاده‌سازی کنید
3. اثر نرخ یادگیری (learning rate) مختلف را آزمایش کنید

📌 منابع پیشرفته برای مطالعه بیشتر

• کتاب Calculus for Machine Learning: مرجع تخصصی حسابان برای هوش مصنوعی
• دوره Mathematics for Machine Learning در Coursera: آموزش عملی مفاهیم ریاضی
• مستندات TensorFlow Autodiff: برای درک مشتق خودکار در شبکه‌های عصبی

📌 قدم بعدی

در درس بعدی با آشنا خواهیم شد!